1. Существо парадокса

В литературе о зрении многократно приводятся рассуждения про разрешающую способность глаза человека, сопровождающиеся численными оценками. Их смысл - глаз не может различать объекты, размер которых в проекции хрусталиком на сетчатку меньше половины диаметра торца палочек или колбочек в ней. Но реально человек с нормальным зрением видит объекты, меньшие этого предела раз в десять. Впервые этот парадокс устранён в монографии «Разум природы и разум человека» глава VIII. Здесь популярно расскажу об этом.
 
Начну с образования изображения на фотоэмульсии. Её огромная чувствительность к свету имеет причиной то, что единственный его квант при последующей химической обработке (проявлении) вызывает реакции в миллиардах молекул - образуется макроскопическое непрозрачное зерно. Объект, который разрешим на фотопластинке, не может быть меньше этого зерна. Для зрения торцы палочек и колбочек в сетчатке глаза принимаются его эквивалентом.
В теории связи ограничение разрешения «размерами зерна» выражает известная теорема Котельникова о минимальном числе отсчётов, равном двум, необходимом для разрешения «горбов» синусоиды. Разрешаемый глазом объект должен быть на сетчатке не меньше интервала одного из таких «горбов», то есть половины величины диаметра палочки или колбочки.
 
Однако, казалось бы, вопреки этой теореме сетчатка глаза достоверно различает объекты, меньшие теоретического предела раз в десять. Парадокс гиперостроты зрения по отношению к размерам торцев палочек и колбочек  многократно упоминается в литературе как необъяснимый  факт.  В этом его отличие от парадокса обратной ориентации палочек и колбочек в сетчатке, который просто обходят молчанием (см. устранение его книгу, на которую дана ссылка выше, и статью на этом сайте «Почему палочки и колбочки направлены против падения света»).
 
2. Нониус штангенциркуля в терминах спектров пространственных частот и теоремы отсчётов

Обычную линейку для измерений длин образуют штрихи делений, разделённые равными промежутками. Эта видимая наглядная картина на математическом языке представляет собой периодическую последовательность прямоугольных импульсов яркости. Для неё можно образовать спектр частот, которые в данном случае будут пространственными, то есть зависищими не от времени, а от координаты вдоль линейнки. Чтобы не увеличивать электронный объём статьи, поясняющие такое простые рисунки опущены в расчёте на то, что читатели сделают себе их сами на бумаге.
 
Фактически на линейках толщина штрихов младших делений не слишком отличается от промежутков. Поэтому приближённо функция-штрихи принимается синусоидальной, имеющей период, который совпадает с периодом делений.  В соответствии с этим приближением для обычной линейки теорему отсчётов выражает практическое правило о том, что с помощью линейки разрешается измерять расстояния с точностью не больше половины её самого малого деления. Например, если это миллиметр, то точность отсчёта длины линейкой не может быть больше половины миллиметра.
 
Это правили распространяется и на те случаи, когда фактически ширина штрихов намного меньше интервала между ними. Примером такого является слесарный инструмент для измерения длины - штангенциркуль. Штрихи миллиметровых делений на нём нанесены на металле, а потому чёткие при их ширине намного меньше интервала его младшего деления. Картинка пространственной функции (импульсов-штрихов) в этом случае будет иметь вид «тонких» столбиков с большими промежутками между ними.
 
Для того, чтобы применить теорему отсчётов к штангенциркулю, необходимо функцию, описывающую штрихи-деления как импульсы «чёрного и белого», разложить в ряд Фурье, то есть получить её спектр пространственных частот. Он будет содержать старшие гармоники. Пример прямоугольного «штриха» и его вида по мере учёта гармоник от первой до 15-той дан на рис. 1. Правило точности согласно теоереме отсчётов с учётом 15-той гармоники будет задавать отрезок, отмеченный буквой  r  (ширина границы деления), а не половина интервала между делениями. Конструкция штрихов для штангенциркуля (их пространственный спектр) на основе теоремы отсчётов разрешает точность измерения длины раз в десять-двадцать большую, чем для обычной линейки. Но нужно приспособление, которое для линейки-штангенциркуля реализует большую ширину спектра пространственных частот в виде повышения точности измерения.



Такое приспособление существует и называется нониус. Это дополнительная линейка, примыкающая к основной. Шаг делений на ней отличается на небольшую постоянную величину от шага делений основной линейки. Практический пример. На нониусе длиной в 3,9 мм делается 20 делений. Если измеряемая длина не равна целому числу миллиметров, то нулевой деление нониуса не совпадёт со штрихом на основной линейке. По обычному «правилу линейки» результат такого отсчёта следует округлить до ближайшего полумиллиметра. Но большая ширина спектра пространственных частот может быть реализована тем, что определяется деление-штрих на нониусе, которое совпадает с каким-либо миллиметровым штрихом на линейке. Его номеру на нониусе будет соотвествовать отсчёт таких долей миллиметра, которые установил закон изготовления нониуса. Точность отсчёта с участием нониуса равна половина ширины штриха, которая одинакова и на линейке, и на нониусе. Для рассмотреного выше примера конкретных величин получится в полном соответствии с теоремой отсчётов точность измерения 0,05 мм, то есть выше в 10 раз, чем без нониуса.
 
Старшие гармоники в разложении в спектр Фурье пространственных частот штрихов линейки и нониуса с учётом технологического минимума ширины штриха задают верхнюю границу спектра пространственных частот штангенциркуля. Теорема отсчётов должна выполняться для старшей из существенных гармоник этого спектра. Конструкция нониуса как изделия-приспособления позволяет зарегистрировать результат измерений, соответствующий реальному пределу теоремы отсчётов для данной линейки. В этом сохраняется полная аналогия с разнообразными радиотехническими устройствами, для которых ширина полосы пропускания частот (здесь обычных, во времени) определяет все их практические свойства.

3. Реализация «принципа нониуса» в сетчатке глаза
 
С учётом рассказанного на языке спектра пространственных частот и теоремы отсчётов о штангенциркуле вернусь к задаче о разрешении для палочек и колбочек в сетчатке глаза.



Представлю сетчатку глаза упрощенной схемой линейки фоторецепторов, у которых чувствителен к свету торец (см. рис. 2). Если на него попал свет, то рецептор переходит, например, в состояние 1, изображённое на рисунке его заливкой чёрным. Состоянию 0 рецептора отвечает его светлая середина. Чувствительность именно торца фоторецепторов есть общепринятое предположение. Его ошибочность объяснена в статье на этом сайте «Почему палочки и колбочки направлены против падения света», но начинать надо с общепринятого.
 
Пусть спроектированные хрусталиком на такую «сетчатку» изображения имеют два вида.
 
Первый из них является последовательностью точек, меньших размера торца рецептора. Расстояния между ними намного больше этого размера. Под действием света группа рецепторов перейдёт в состоние 1. Это показано на рис. 2 слева. На нём для заметности точки продолжены в отрезки прямых.
Второй вид изображения образуют пары аналогичных точек. В каждой паре расстояния между точками меньше размера торца фоторецептора, но больше ширины его границы (рис. 2, справа). Расстояния между парами отвечает условию предыдущего изображения.

Если считать, как это принято в статьях и книгах о зрении, что теорема отсчётов применяется к приближённой замене реальной формы торца фоторецептора его «синусоидальным аналогом», то для второго вида изображения отдельные точки в парах неразрешимы - состония  0  и  1  для линейки рецепторов будут тождественны изображению рис. 2 слева. Однако реально форма торца фоторецепторов описывается разложением в ряд Фурье (спектр пространственных частот) типа рис. 1, в котором существены старшие гармоники. Номера и величина их зависят от ширины границы фоторецептора. К ним, а не к приближённой «синусоиде» первой гармоники, должны применяться ограничения теоремы отсчётов. Наглядно разнице сигналов для первого и второго вида изображений соответствуют дополнительные состояния 1  фоторецепторов, отмеченные на рис. 2 толстыми стрелками.
 
На рис. 3 показана одна из многих схем палочки и колбочки в сетчатке, как она изображается в учебниках. Само название - палочки, то есть большая длина образующей по отношению к диаметру торца, создаёт необходимую для высокого разрешения объектов зрения малость ширины границы фоторецептора. Более того, можно вообще обойтись без светочувствительности торца палочки или колбочки.



Известно, что разрешение при цветовом зрении меньше, чем при «чёрно-белом». В терминах рассказанного выше о спектре пространственных частот причина этого в форме (см. рис. 3) колбочек - рецепторов цветового зрения. У них боковые поверхности конические, то есть результирующая толщина границы больше, спектр пространственных частот ограничен меньшими номерами гармоник. Потому и теорема отсчётов даёт меньшее разрешение.
 
В сетчатке палочки и колбочки расположены случайно. Последовательностей типа рис. 2 нет. Но глазу они не нужны потому, что он работает со спектрами и функциями корреляции пространственных частот (что было показано в предыдущей статье на этом сайте «Почему палочки и колбочки направлены против падения света»). В сетчатке «принципы нониуса» рис. 2 гарантируют различие выборок случайных величин для избражений на сетчатке одной и пары точек на расстоянии, которое меньше ширины торца фоторецептора.
 
На рис. 4 показана схема фасеточного глаза насекомых. Линза фасетки  А  фокусирует свет на трубку В со стенками из фоторецепторов (её сечение показано внизу слева рис. 4).  То есть опять в глазу (теперь насекомых) разрешение объектов определяется не числом и диаметром фасеток (как общепринято), а размером и шириной эквивалентной границы трубки из фоторецепторов. Подобные трубчатые рецепторы в глазу моллюсков, но у них линза общая для всех в сетчатке.



В результате последующей обработки в нервной системе насекомых с участием спектров и функций корреляции пространственных частот глаз насекомого видит нечто несопоставимое с «фотографией» в человеческом понимании. Но разрешение деталей в таком специфическом изображении на порядки выше, чем для общепринятых оценок по размерам и числу фасеток глаза насекомого.
 
Объяснённое выше устраняет более чем столетний парадокс гиперостроты зрения, в частности, человека - предел разрешения малых объектов сетчаткой глаза задаёт не диаметр палочек и колбочек, а ширина их границы. В этом есть подробности, связанные с понятием о «простых объектах».

4. Что такое простые объекты и почему высоко их разрешение глазом
 
Известно из физиологических экспериментов, что разрешение глазом человека таких объектов как точки, прямые, окружности почти на порядок величины лучше, чем произвольных по форме. В литературе этот факт приводится с недоумением о его причинах. Это недоумение, как и предыдущий парадокс, устранено впервые в главе VIII книги «Разум природы и разум человека». Поясню это и здесь.
 
Общеизвестно, что линза в своей фокальной плоскости отображает яркую «математическую точку» в виде дифракционной картины отверстия её оправы. То есть вместо точки получаются кольца типа рис. 5. Известно, что число и структура колец дифракционной картины зависят от диаметра оправы линзы, то есть для глаза от диаметра зрачка. Такая дифракционная картина есть спектр пространственных частот оправы линзы. В фотоаппаратах, телескопах и других технических устройствах старшие гармоники спектров пространственных частот не используются. Изображением точки считается пятно  r  на рис. 5, В классической оптике технических приборов половина размера  r  является пределом разрешения согласно теореме отсчётов. Кольца вокруг центрального пятна - искажения, ухудшающие резкость (разрешение) точки.



Дифракционные картины (пространственные спектры) обладают особенностью, упоминание о которой полностью, напрочь, отсутствует в учебниках по оптике и о зрении. Это соотношение подобия, найденное ещё Френелем - дифракционные картины, образующиеся в фокальной плоскости линзы, с точностью до суммарного размера остаются тождественными при фокусировках на экране перемещением линзы одной и той же точки, находящейся на разных расстояниях от линзы. То есть размеры дифракционной картины точки при разных фокусировках могут быть различны, но структура остаётся тождественной.
  
С учётом рассказанного, вернусь к рис. 2 и «принципу нониуса».  Названные в заголовке этого параграфа «простые объекты» - точки, линии, окружности - отличают закономерности и симметрии их дифракционных картин (пространственных спектров). Они создают принципиальные отличия дифракционных картин «простых объектов» от изображений окружающего «фона» - повторяющийся ограниченный набор пространственных закономерностей засветки рецепторов.
  
Построение с помощью нервных импульсов, циркулирующих в сетчатке глаза, функций корреляции выделяет эти закономерности. Но именно они отличают пространственные спектры простых объектов. Ведь соотношение подобия Френеля гарантирует, что с точностью до масштаба размеров для каждого «простого объекта» существует свой универсальный вид дифракционной картины, то есть спектра его пространственных частот.
 
Упрощенное описание реализации принципа нониуса в сетчатке на рис. 2 потребовало ввести регулярные последовательности парных точек и рецепторов потому, что реальная единственная пара точек для строго неподвижного глаза не обязательно попадёт на сетчатку именно так, что между ними окажется граница фоторецептора. В этом отличие сетчатки от штангенциркуля, где такая однозначность гарантирована его конструкцией и приёмами измерений. Однако принципы разрешения точек, проиллюстрированные схемой рис. 2, в сетчатке работаю потому, что обработка изображений в сетчатке статистическая (в отличие от штангенциркуля). Задают это случайности расположения рецепторов в сетчатке и случайности проекции на неё окружения. В частности, при всём совершенстве мышечной системы ориентации глаза она не может обеспечить неизменность положения изображения на сетчатке с точностью до ширины границы палочек или колбочек. Это и гарантирует, что во времени будут существовать случаи, когда эта граница окажется между наблюдаемыми близкими точками. Статистика по положениям одного и того же изображения на сетчатке выявит результаты, которые были проиллюстрированы с помощью линеек фоторецепторов и изображений на рис. 2. Важная роль для работы органов зрения осреднений в пространстве за счёт осреднений во времени подчёркнута, например,  тем фактом, что лягушка видит только движущиеся объекты.
  
5. Ещё один парадокс зрения и его устранение
 
В приборах классической оптики, например телескопах, «борьба» идёт за то, чтобы уменьшить число колец и размер дифракционной структуры типа рис. 5. Её существование есть принципиальное ограничение для разрешения этих приборов. Для глаза и сетчатки осталось не понятым, что дифракционная структура изображения, хотя бы в случае «простых объектов», наоборот, необходима для повышения их разрешения. Повторю, что дело в статистическом характере обработки сетчаткой спектров пространственных частот. Закономерная структура дифракционной картины, особенно «простых объектов», увеличивает количество фоторецепторов в сетчатке, которые различно срабатывают в функции от их взаимного положения. Это увеличивает объём выборки как исходного для любой статистической обработки данных и соответственно повышает точность её результата - разрешение глаза.
 
Общеизвестно, что при ярком освещении разрешение глаза выше. Классической оптике технических приборов это противоречит.  Ведь на ярком свету диаметр хрусталика существенно уменьшается. Этому соответствует увеличение диаметра дифракционной картины и усложнение деталей её структуры. Возникает парадокс - увеличение из-за дифракции на зрачке суммарного «размера точки» на сетчатке позволяет разглядёть как дифференцированный объект (разрешить) меньшую точку вне глаза.
 
Рассказанное об объёме выборок для статистической обработки изображений в сетчатке устраняет этот парадокс. Ведь увеличение размера  r и всей дифракционной структуры на сетчатке при уменьшении диаметра зрачка хрусталика увеличивает объём выборки, исходной для обработки состояний фоторецепторов. Это позволяет в большей мере использовать старшие гармоники спектра пространственных частот изображения точки, а потому, казалось бы парадоксально, повышает разрешение объектов наблюдения. Изменению диаметра зрачка соответствует изменение, например для яркой точки, числа дифракционных колец. Но и для нового вида дифракционной картины справедливо соотношение подобия Френеля, то есть общие закономерности превалируют.

6. Органы зрения живых существ не обязательно видят аналоги изображений в смысле зрения человека
 
В связи с задачами разрешения для органов зрения необходимо вернуться к новому, введеному в моих работах об образовании объектов в нервных системах и мозге живых существ. В них было объяснено, что иррациональная связь объектов природы и их эквивалентов в нервных системах и мозге становится однозначной на основе обратной связи с движениями (в обобщённом смысле) как реакцией на окружающее.
 
Человек наивно ищет в любых формах зрения аналогии со своими представлениями о зрении как «фотографии». Например, работу фасеточного глаза стараются свести к такому же. Это одна из общепринятых ошибок. Поясню примером.
 
Как-то летом я скормил осам много сахара (в тот год дефицитного). Дело было в летней кухне с открытым окном и столом перед ним, на котором я и подливал осам сахарный сироп на блюдце. В перпендикулярной к окну стенке была дверь из соседней комнату наружу. Между комнатами была всегда открытая дверь.
Впервые прилетевшая оса, попробовав сироп, непрерывно взлетала, барражировала с боковыми смещениями, ориентируясь глазами к блюдцу. Время от времени она садилась, быстро пила сироп и повторяла всё сначала. Но при следующих прилётах осы летели по прямой через окно сразу к блюдцу, не взлетая долго пили сироп и так же улетали. Если переставить блюдце на столе примерно на полтора его диаметра, то осы его игнорировали, но настойчиво пытались найти сахар точно на том месте, где оно стояло раньше. Если на заходе солнца (когда частота прилёта ос сильно падала) в промежутке между их рейсами закрыть окно, то было видно, как вполне уверенно, «без раздумий» конкретная оса огибала угол дома, пролетала две открытые двери и точно сразу садилась на блюдце.
Строгим экспериментом такие наблюдения назвать нельзя, но вывод из них, тем не менее, достоверный. В отличие от человека оса с её фасеточными глазами с помощью движений в первую очередь видит общую «карту местности». Многократные взлёты и барражирование как движения формируют и управляют запоминанием такого «изображения» как объекта в нервной системе. Язык этого изображения - движения. Само же изображение в человеческом смысле зрения в нервной системе осы вряд ли возможно.
 
Для нервной системы осы с помощью движений образуют «изображение» преимущественно «триангуляционные» символы. Они требуют высокого углового оптического разрешение глаза осы. Судя по всему, для фасеточного глаза осы (и, возможно, других насекомых) изображение является комбинацией углов, для человека непредставимой.
 
Как было показано в книге «Разум природы и разум человека» и в статье на этом сайте об обратной ориентации палочек и колбочек, привязка положения фоторецепторов к координатам сетчатки требует большой и сложной системы нейронов и их связей. Регистрация направлений напрямую не зависит от координат рецепторов. Поэтому для фасеточного глаза при ничтожном объёме нервной системы насекомых возможно полноценное, с высоки разрешением триангуляционное «изображение». Кавычки нужны потому, что для человека оно иррационально.

7. О чувствительности органов зрения к направлениям



На рис. 6 приведена схема глаза червя - планарии. Его наружную поверхность образует слой мелких прозрачных отверстий (А на рис. 6). Внутри неё находится небольшое число фоторецепторов (В на рис. 6), передающих сигналы в простейшую нервную систему червя.
 
Обычно в учебниках объясняют, что глаз планарии подобен известной уже несколько столетий камере-обскуре. Действительно, если на большом расстоянии от маленького отверстия в непрозрачном листе поместить защищённый от постороннего света экран, то в результате дифракции Фраунгофера на нём появится изображение освещённых предметов перед отверстием. Оно подобно картине, получаемой в фотоаппаратах с помощью линзы. Большая величина расстояния от отверстий до экрана является принципиальным условиям для формирования изображений с помощью камеры-обскуры. Менее известно, но упоминается в учебниках оптики, что единственное отверстие в камере-обскуре можно заменить решёткой многих одинаковых отверстий. При этом изображение - дифракционная картина - сохранится и яркость её возрастёт.
 
Решётка мелких отверстий  в глазу планарии есть (А  на рис. 6). Фоторецепторы  В там же можно считать эквивалентом экрана. Но выполнимость в масштабах глаза планарии условия на расстояния между отверстиями и экраном весьма сомнительна. Поэтому прямая аналогия в смысле изображений для такого глаза с камерой-обскурой остаётся на совести тех физиков, которые о ней утверждают.
Линза в оптике является устройством, преобразующим направления падающего на неё света в положения точек в своей фокальном плоскости. Подобие с этим выполняется и для дифракции Фраунгофера. Пример глаза планарии показывает, что исходно, от первичных этапов эволюции органов зрения, в их фоторецепторах присутствует чувствительность к направлениям света и способность в какой-то мере выполнять в рецепторах интегрирование, содержащее элементы, характерные для образования точки изображения линзой или дифракционной картины Фраунгофера.
 
Обратите внимание на повторяющуюся особенность самых разных реализаций фоторецепторов в органах зрения живых существ. Плоских рецепторов в них нет. Либо удлинённые наружные поверхности цилиндров и конусов (рис. 3), либо удлинённые внутренние поверхности полостей (рис. 4). Одна из причин этого была объяснена выше - «борьба» за ширину полосы пространственных частот, пропускаемых глазом как прибором.
 
Однако остаётся непонятный вопрос. Толщина сетчатки в глазу человека мала в масштабах расстояния от хрусталика. Длину рецепторов нём (рис. 3) можно учитывать как средство уменьшения ширины их границы. Однако в фасеточном глазе это заведомо не так - длина полости рецептора сопоставима с расстоянием до линзы в фасетке. В таких условиях заведомо фоторецептор воспринимает не плоскую точку изображения, а конический пучёк лучей. Как и какая его обработка происходит в самих фоторецепторах? Для ответа на этот вопрос необходимы экспериментальные данные о чувствительности и взаимодействиях в фоторецепторах зрения с учетом направлений света. Их пока никто не пытался найти.
  
Не обследована экспериментально роль когерентных эффектов в сетчатке глаза человека. Её толщина сопоставима с длиной когерентности обычного света. Поэтому в ней возможны выраженные аналоги голографической обработки спектров и функций корреляции.
 
Человек видит предметы при когерентном лазерном освещении иначе, чем при обычном свете - они покрыты «искрящейся структурой», которую называют спеклы. Однако точно известно в деталях, что причина спеклов в интерференции когерентного света на поверхности предметов. Свойства глаза к этому отношения не имеют. Собственно для глаза (в его изображениях) когерентность или нет освещения безразлична. Происходит ли это потому, что процессы в сетчатке в пределах длины когерентности её уже учитывают, а потому лазерное освещение ничего не меняет, или причина в каких-то механизмах подавления отражённых волн, которые могут выполнять роль опорного пучка для обработки пространственных спектров и корреляций в глазу? Пока нет экспериментальных данных, необходимых для ответа на этот вопрос.
 
Надеюсь, что найдутся читатели, которые поставят эксперименты для ответов на эти вопросы, руководствуясь рассказанным в книге «Разум природы и разум человека», а также в этой и предыдущей статье о парадоксах зрения на этом сайте.