Трагедия Свободы  Умопримечания | Стихи | Библиотека 
  на первую страницу НОВОСТИ | ССЫЛКИ   
Эварист Галуа. Письмо Огюсту Шевалье
  
Стихи


Эварист Галуа (25 октября 1811, Бур-ла-Рен, близ Парижа, - 31 мая 1832, Париж) - французский математик. Далее приводится письмо Эвариста Галуа своему другу Огюсту Шевалье, написанное 29 мая 1832 г.
  

Сущность математики лежит в ее свободе
Г. Кантор


Картина Н. Врубеля - Жемчужина. 1904 г.
Письмо Огюсту Шевалье
Эварист Галуа.

Ты знаешь, мой дорогой Огюст, что это не были единственные вопросы, которые я исследовал. Мои главные размышления уже несколько времени были направлены к приложению к трансцендентному анализу теории неопределенности (l'ambiguite). Речь идет о том, чтобы видеть a priori, какие замены можно произвести, какие количества можно подставить вместо данных количеств в соотношение между трансцендентными количествами или функциями так, чтобы соотношение не перестало иметь место. Но я не имею времени, и мои идеи еще недостаточно хорошо развиты в этой необьятной области
Э. Галуа. 29 мая 1832 г.

Мой дорогой друг Я сделал в анализе несколько новых открытий. Одни из них касаются теории уравнений, другие - интегральных функций. В теории уравнений я исследовал, в каких случаях уравнение решаются в радикалах, что мне дало повод углубить эту теорию и описать все преобразования над уравнением, допустимое даже когда оно не решается в радикалах. Из всего этого можно сделать три мемуара. Первый написан, и, вопреки тому, что о нем говорит Пуассон, я его поддерживаю с поправками, которые я в нем сделал. Второй содержит довольно любопытные приложения теории уравнений. Вот резюме наиболее важных положений:
1 Из предложений II и III первого мемуара видно большое различие между присоединением к уравнению одного из корней некоторого вспомогательного уравнения и присоединением всех корней. В обоих случаях группа уравнения при присоединении разделяется на такие группы, что от одной группы переходит к другой посредством одной и той же подстановки; но условие, что эти группы содержат одни и те же подстановки, имеет, наверное, место только во втором случае. Это называется собственным разложением. Другими словами, когда группа G содержит другую группу H, то группа G может разлагаться на группы, каждая из которых получается применением к перестановкам H одной и той же подстановки, таким образом, что
G = H + HS + HS' + ...
Она может быть разложена также на группы, которые содержат все одни и те же подстановки, таким образом, что
G = H + TH + T'H + ...
Эти два разложения обычно не совпадают. Когда они совпадают, то говорят, что разложение собственное. Легко видеть, что когда группа уравнения не допускает никакого собственного разложения, то, как бы ни преобразовывать это уравнение, группы преобразованных уравнений имеют всегда одно и то же число перестановок. Наоборот, когда группа уравнения допускает какое-нибудь собственное разложение такого рода, что она разлагается на М групп по N перестановок, то можно решить данное уравнение с помощью двух уравнений: одно будет иметь группу из М перестановок, другое - из N перестановок. Стало быть, когда в группе некоторого уравнения исчерпаются все возможные собственные разложения, мы придем к группам, которые можно преобразовать, но перестановки которых остаются на месте всегда в одном и том же числе. Если каждая из этих групп содержит простое число перестановок, то уравнение решается в радикалах; в противном случае нет. Наименьшее число перестановок, которое может иметь неразложимая группа, когда это число составное, это 5 * 4 * 3 (Примечание Н.Г. Чеботарева: Это знакопеременная группа пятой степени, т.е. группа всех четных постановок пяти букв. В связи с зтим уравнение пятой степени есть уравнение наименьшей степени, которое не может быть решено в радикалах)
2 Наиболее простые разложения это те, которые имеют место в методе Гаусса. Так как эти разложения очевидны даже в случае конкретной группы уравнения, то бесполезно долго останавливаться на этом предмете. Какие разложения применимы к уравнению, которое не упрощается методом Гаусса? Я назвал примитивными уравнения, которые не могут быть упрощены методом Гаусса; это отнюдь не означает, что эти уравнения действительно неразложимы, так как они могут даже решаться в радикалах. Как лемму к теории примитивных уравнений, разрешаемых в радикалах, я поместил в июне 1830 г. в Bulletin de Ferussac анализ мнимостей теории чисел. Здесь найдут приложенным доказательство следующих теорем:
1. Для того чтобы примитивное уравнение разрешалось в радикалах, оно должно быть степени pv, где  p  - простое число.
2. Все перестановки подобного уравнения имеют форму
Xk,l,m,... п xak+bl+cm+... +h, a'k+b'l+c'm+... +h',k+... , ... ,
где v индексов k, l, m, ... указывают все корни, когда каждый из этих индексов пробегает p значений.
Индексы берутся по модулю p т.е. корень остается тем же самым, когда к одному из индексов прибавляется кратность p.
Группа, которая получается, если производить все подстановки этой линейной формы, содержит всего
pv( pv -1) ( pv -p) ... ( pv - ( pv-1)  перестановок.
Уравнения, которые удовлетворяют этому общему признаку, должны решаться в радикалах. Условие, которое я указал в Bulletin de Ferussac для разрешимости уравнения в радикалах, слишком узко; исключений немного, но они имеются.
Последнее приложение теории уравнений относится к модулярным уравнениям эллиптических функций. Известно, что группа уравнения, имеющего корнями синусы амплитуды (р2 - 1)-го деления периода, такова:
xk,l ,    x(ak+bl)/ck+dl) .
Следовательно, соответствующее модулярное уравнение имеет группой
xk/l ,     x(ak+bl)/(ck+dl) ,
в которой  k/l может принимать  p + 1  значений
µ, 0, 1, 2. ... , p-1.
Итак, условившись, что k может быть бесконечным, можно просто не писать
xk,     x(ak+b)/(ck+d),
Давая a, b, c, d все значения,  получим (p+1)p(p-1) перестановок. Но эта группа разлагается собственным образом на две группы, подстановки которых суть
xk,     x(ak+b)/(ck+d),
где ad - bc - квадратичный вычет p.
Упрощенная таким образом группа состоит из (p+1)p(p-1)/2  перестановок.
Но легко видеть, что она не разложима больше собственным образом, если только p не равно 2 или , p не равно 3. Итак, каким бы образом мы ни преобразовывали уравнение, его группа всегда имеет одно и то же число перестановок. Но любопытно знать, может ли быть понижена степень. Прежде всего она не может быть понижена ниже p, так как уравнение степени, меньшей p, не может иметь p множителем числа перестановок своей группы. Итак, посмотрим, может ли быть понижено до степени p  уравнение степени p+1, корни которого  xk указываются, если давать k  все значения, включая и бесконечность, и группы которого имеет подстановками
xk,     x(ak+b)/(ck+d),
где ad - bc - некоторый квадрат.
Для этого нужно, чтобы группа разлагалась (разумеется, несобственно) на p групп по (p+1)(p-1)/2  перестановок каждая.
Пусть 0 и µ - две буквы, соединенные в одной из этих групп.
Подстановками, которые не смещают 0 и µ, будут формы
xk,     x(m^2)k.
Следовательно, если М соединено с 1, то буквой, соединенной с m2, будет m2M.
Следовательно, когда М - квадрат, то будем иметь M2=1.
Но это упрощение может иметь место только для p=5.
Для p=7 находим группу из (p+1)(p-1)/2  перестановок, в которой
µ, 1, 2, 4
имеют соответственно соединенными буквами
0, 3, 6, 5.
Подстановки этой группы имеют форму
xk,     xa(k-b)/(k-с),
где  b - буква, соединенная с c, и a - буква, являющаяся вычетом или невычетом одновременно с с.
Для p=11 в тех же обозначениях имеют место те же самые подстановки, причем
µ, 1, 3, 4, 5, 9
имеют соответственно соединенными
0, 2, 6, 8, 10, 7.
Таким образом в случае p = 5, 7,11 модулярное уравнение понижается до степени p. Можно показать со всей строгостью, что это уравнение невозможно в более высоких случаях.
Третий мемуар касается интегралов Известно, что сумма членов одной и той же эллиптической функции всегда сводится только к одному члену плюс алгебраические и логарифмические количества. Нет других функций, для которых имело бы место это свойство. Но у всех интегралов от алгебраических функций это свойство заменяется абсолютно подобным. Рассмотрим сразу все интегралы, дифференциал которых есть функция от переменной и одной и той же иррациональной функции от этой переменной, будет или не будет эта иррациональность некоторым радикалом, и выражается или не выражается она в радикалах. Находим, что число различных периодов наиболее общего интеграла относительно данной иррациональности есть всегда число четное. Пусть 2n - это число; имеем следующую теорему:
Любая сумма членов сводится к n членам алгебраические и логарифмические количества.
Функции первого рода суть те, у которых алгебраическая и логарифмическая части равны нулю. Их имеется n различных.
Функции второго рода суть те, у которых дополнительная часть чисто алгебраическая. Их имеется n различных.
Можно предположить, что дифференциалы других функций обращаются в бесконечность только один раз для x = a и более того, эта их дополнительная часть сводится к одному единственному логарифму log P. Где P - некоторое алгебраическое количество.
Обозначая через П(x,a) эти функции, будем иметь теорему:
П(x,a) - П(a,x) = S jayx
где ja и yx - функции первого и второго рода.
Обозначая через П(a) и y периоды П(x,a) и yx относительно одного и того же обхода х, выводим
П(a) = S y ja
Таким образом, периоды функций третьего рода всегда выражаются в функциях первого и второго рода.
Можно также вывести теоремы, аналогичные теореме Лежандра
FE' + EF' - FF' = p/2.
Приведение функций третьего рода к определенным интегралам, что является самым прекрасным открытием Якоби, неосуществимо, кроме случая эллиптических функций.
Умножение интегральных функций на целое число, как и сложение, всегда возможно посредством одного уравнения степени n, корни которого суть значения, подставляемые в интеграл для получения приведенных членов.
Уравнения, дающее деление периода на p равных частей, имеют p2n - 1.
Его группа имеет всего (p2n - 1) (p2n - p) ... (p2n - p2n -1) перестановок.
Уравнение, дающее деление суммы n членов на p равных частей, имеет степень p2n. Оно разрешимо в радикалах.
О преобразовании. Прежде всего можно, следуя аргументации, аналогичной приводимой Абелем в его последнем мемуаре, доказать, что если в одном соотношении между двумя интегралами имеются две функции
т F(x,X) dx,    т Y(y,Y) dy,
причем последний интеграл имеет 2n периодов, то можно будет предположить, что y  и Y выражаются посредством одного единственного уравнения степени n в функции от x и Х.
В силу этого можно предположить, что преобразование постоянно имеет место только между двумя этими интегралами, так как, очевидно, имеем, беря какую-нибудь рациональную функцию от y и Y,   S тf(y,Y)dy = тF(x,X) dx + некоторые алгебраические и логарифмические количества.
В случае, когда интегралы в первом и втором членах не имеют оба одного и того же числа периодов, имеются очевидные приведения этого уравнения. Таким образом, мы можем сравнивать только интегралы, имеющие оба одно и тоже число периодов. Можно доказать, что наименьшая степень иррациональности у двух подобных интегралов не может быть для одного больше, чем для другого.
Затем очевидно, что всегда можно преобразовать данный интеграл в другой, у которого один период первого интеграла разделен на простое число p, а 2n - 1 других остаются теми же самыми. Следовательно, остается сравнивать только такие интегралы, у которых одни и те же периоды, и, следовательно, такие, что n членов одного выражаются посредством одного единственного уравнения степени n от членов другого интеграла, и обратно. Здесь мы ничего не знаем.
Ты знаешь, мой дорогой Огюст, что это не были единственные вопросы, которые я исследовал. Мои главные размышления уже несколько времени были направлены к приложению к трансцендентному анализу теории неопределенности (lambiguite). Речь идет о том, чтобы видеть a priori, какие замены можно произвести, какие количества можно подставить вместо данных количеств в соотношение между трансцендентными количествами или функциями так, чтобы соотношение не перестало иметь место. Но я не имею времени, и мои идеи еще недостаточно хорошо развиты в этой необьятной области. Ты дашь напечатать это письмо в Revue encyclopedigue. Я в своей жизни часто позволял себе высказать предположения, в которых не был уверен, но все, что я написал здесь, уже около года в моей голове, и слишком в моих интересах не ошибиться, чтобы меня могли заподозрить в том, что я обьявляю теоремы, для которых не имел бы полного доказательства. Ты публично попросишь Якоби или Гаусса дать их заключение, не о справедливости, но о важности этих теорем. После этого будут, я надеюсь, люди, которые найдут свою выгоду в расшифровке всей этой путаницы. Горячо обнимаю тебя
Э. Галуа
29 мая 1832 г.
Литература:
Эварист Галуа. Математические работыГалуа Э. Математические работы. // PXД. Москва-Ижевск. 2002 http://rcd.ru
Аннотация Жизнь и творчество Эвариста Галуа (1811-1832) представляют собой совершенно исключительное в истории науки явление. Работы этого удивительного человека собраны в предложенной книге. Текст статей Галуа взят непосредственно из издания его сочинений, вышедшего в Париже в 1897 г. под редакцией Пикара. Ранее он был опубликован на русском языке в 1936 г.
Содержание
От редакции
Предисловие Н.Г. Чеботарева (1936г.)
Доказательство одной теоремы из теории непрерывных дробей (1828-1829)
http://kirsoft.com.ru/freedom/KSNews_371.htm
Заметки по некоторым пунктам анализа (1830-1831)
1. Доказательство одной теорем анализа
2. Радиус кривизны пространственных кривых
Анализ одного мемуара об алгебраическом решении уравнения (1830 апрель)
Заметка о решении численных уравнений (1830 июнь)
Из теории чисел (1830 июнь)
Письмо Огюсту Шевалье (29 мая 1832г.)
Мемуар об условиях разрешимости уравнений в радикалах (16 января 1831г.)
Примитивные уравнения, которые разрешаются в радикалах (фрагмент)
Отрывки, опубликованные Ж.Таннери (1830-1831)
Н.Г. Чеботарев. Примечания к сочинениям Галуа
Эварист Галуа. А. Дальма. П. ДюпюиДальма А., Дюпюи П. Эварист Галуа, революционер и математик.
Жизнь Эвариста Галуа
. //PXД. Москва-Ижевск. 2000 http://rcd.ru
Аннотация В книгу включены два сочинения А. Дальма и П. Дюпюи, посвященные замечательному французскому математику Эваристу Галуа, прожившему короткую, но очень яркую жизнь, наполненную революционной борьбой и напряженной научной работой. Они написаны с горячей любовью авторов к своему герою. Большим достоинством книги является то, что в ней научная деятельность Галуа не отрывается от его прогрессивных политических взглядов. Наличие в книге документального материала позволяет глубже почувствовать дух эпохи, триумф и трагедию Галуа
Содержание
А. Дальма. Эварист Галуа, революционер и математик
http://lingua.russianplanet.ru/library/adalmas.htm
Введение
Эварист Галуа и его время
Эварист Галуа и развитие науки
Документы
1. Письма Галуа
2. Записи Галуа
http://kirsoft.com.ru/freedom/KSNews_405.htm
3. Исключение из Нормальной школы
4. Процесс Эвариста Галуа
5. Отчеты о заседаниях Академии наук
6. Библиография математических произведений Галуа
Послесловие редактора

Дюпюи П. Жизнь Эвариста Галуа
Феликс Клейн. Лекции о развитии математики в XIX столетии. Том I. // пер. с немец. Н. М. Нагорного. Москва. Наука. Главная редакция физико-математической литературы. 1989г.
Инфельд Л., Эварист Галуа. Избранник богов, //пер. с англ., М. Кан. Издательство ЦК ВЛКСМ Молодая гвардия. ЖЗЛ., Выпуск 14 (262). Москва 1958;
Дальма А., Эварист Галуа, революционер и математик, пер. с франц., М., 1960.
Можно присоединить к полю коэффициентов многочлена его корни, и получить новое поле - расширение прежнего поля. Эту процедуру можно повторять много раз; в итоге возникает нечто вроде растущего кристалла, оси и грани которого обладают особой симметрией. И возможно, что от этой симметрии зависит разрешимость исходного уравнения!
http://www.sch57.msk.ru/collect/smogl.htm
Виленкин Н., Лишевский В., Эварист Галуа
http://kvant.mccme.ru/rub/1.htm
Евгений Беляков. Формула брошенной перчатки
http://archive.1september.ru/gazeta/1999/85/5-1.htm
Статья Ю.П. Соловьева Эварист Галуа из книги: Рассказы о математике и математиках // МЦНМО. Москва. 2000  
Автограф ГалуаАвтограф обязательства Галуа
Э. Галуа. И мы дети, но мы стремимся вперед, полные сил и отваги
http://sinsam.kirsoft.com.ru/KSNews_254.htm
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Galois.html
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~history/PictDisplay/Galois.html
  
СТАТИСТИКА

  Веб-дизайн © Kirsoft KSNews™, 2001 Copyright © Трагедия Свободы, 2001-2004