|
1.5. Физический и динамический хаос. Неравновесные
фазовые переходы Итак, в последние годы стало
широко использоваться понятие - динамичекий хаос -
для характеристики сложных движениях в сравнительно
простых динамических системах. Слово - динамический
- означает, что отсутствуют источники флуктуаций -
источники беспорядка. По этой причине понятие - динамическая
система - отвечает определенной идеализации. Более
реальное хаотическое движение с учетом и случайных
источников можно назвать - физический хаос. Его примером
и является хаотическое движение атомов и молекул в
состоянии равновесия. В формировании понятия - динамический
хаос - основополагающую роль сыграли работы А. Пуанкаре,
А.Н. Колмогорова, Я.Г. Синая, Д. Рюэля, Д. Такенса
и ряда других знаменитых математиков. Однако, исторически
первый пример динамического хаоса при численных расчетах
был дан в работе Эдварда Лоренца в 1963г. Лоренц исследовал
решение уравнений, которые служат математической моделью
конвективного движения в газах и жидкостях. Конвективное
движение выражается в том, что более (при подогреве
снизу) нагретые элементы жидкости перемещаются вверх,
а более холодные - вниз. При достаточно малых градиентах
температуры перенос тепла определяется за счет теплопроводности.
Это молекулярный - неорганизованный процесс. Он не
сопровождается упорядоченным гидродинамическим движением,
которое могло бы, подобно регулировке уличного движения,
управлять переносом тепла. Ситуация, как мы уже знаем,
существенно меняется, когда градиент температуры превышает
некоторое критическое значение. В жидкости возникает
упорядоченное макроскопическое движение. В результате
происходит саморегулировка теплового потока - по одним
каналам более нагретые элементы перемещаются вверх,
а по другим более холодные элементы перемещаются вниз.
Таким образом, распределение встречных потоков становится
упорядоченным. Эта ситуация напоминает регулировку
встречных потоков при уличном движении. Есть, однако,
и существенная разница. Действительно, регулировка
уличного движения регламентируется правилами уличного
движения. При конвективном же движении имеет место
процесс самоорганизации. Задается лишь градиент температуры.
Перестройка же движения происходит благодаря внутренним
свойствам самой системы. Внешне результат этой перестройки
проявляется в том, что на поверхности жидкости появляется
диссипативная пространственная структура ячейки Бенара.
Внутри ячеек жидкость поднимается вверх, а по краям
опускается вниз. Благодаря такой перестройке обеспечивается
большая пропускная способность, чем при молекулярном-неупорядоченном
теплопереносе. Появление новой структуры можно рассматривать
как неравновесный фазовый переход. Конвективное движение
возникает благодаря совместному действию поля тяжести
и градиента температуры, создаваемого внешним источником
тепла. Речь идет, таким образом, об открытой системе.
Итак, при конвективном движении, происходящем при
подогреве снизу, по мере увеличения градиента температуры
происходит неравновесный фазовый переход. В результате
сначала возникает пространственная диссипативная структура
в виде ячеек Бенара. При дальнейшем увеличении градиента
температуры возникают более сложные пространственно-временные
структуры. Примером неравновесного фазового перехода
может служить возникновение когерентного электромагнитного
излучения в квантовых оптических генераторах - лазерах.
Отметим общие условия необходимые для возникновения
неравновесных фазовых переходов, которые приводят
к образованию новых диссипативных структур:
1. Диссипативные структуры могут образовываться только
в открытых системах. Только в них возможен приток
энергии, компенсирующий потери за счет диссипации
и обеспечивающий существование более упорядоченных
состояний
2. Диссипативные структуры возникают в макроскопических
системах, т.е. в системах, состоящих из большого числа
элементов (атомов, молекул, макромолекул, клеток и
т.д.). Благодаря этому возможны коллективные - синергетические
взаимодействия, необходимые для перестройки системы
3. Диссипативные структуры возникают лишь в системах,
описываемых нелинейными уравнениями для макроскопических
функций. Примером могут служить кинетические уравнения,
например, уравнение Больцмана, уравнения газовой динамики
и гидродинамики, уравнения Максвелла в электродинамике
для напряженностей электромагнитного поля и т.д.
4. Для возникновения диссипативных структур нелинейные
уравнения должны при определенных значениях управляющих
параметров допускать изменение симметрии решения.
Такое изменение выражается, например, в переходе от
молекулярного теплопереноса к конвективному теплопереносу
по ячейкам Бенара
1.6. Управляющие параметры Итак, термином -
хаос - характеризуют самые различные виды сложных
движений. Во многих случаях, как мы видели, хаотическое
движение очень трудно отличить от упорядоченного,
но очень сложного движения. По этой причине возникает
необходимость в критериях относительной степени упорядоченности
или хаотичности различных движений в открытых системах.
При этом оказывается очень важным выбор управляющих
параметров, при изменении которых и происходят неравновесные
фазовые переходы. Выбор управляющих параметров представляет
во многих случаях самостоятельную задачу. При этом
возможны, естественно, ошибки. В связи с этим критерии
степени упорядоченности должны содержать и возможность
контроля правильности сделанного выбора управляющих
параметров. Приведем примеры. В лазерах управление
может осуществляться путем изменения уровня т.е. вклада
энергии, за счет которой создается инверсная заселенность.
В классических генераторах накачке соответствует так
называемый параметр обратной связи. При конвективном
движении управляющим параметром служит градиент температуры.
При переходе от ламинарного течения к турбулентному
управление может осуществляться путем изменения разности
давления на концах трубы. В медицине роль управляющих
параметров могут выполнять лекарства. Наблюдение за
состоянием больного позволяет контролировать правильность
выбора лекарств. Роль управляющего параметра играет
и скальпель хирурга. Управляющим параметром может
служить и время выздоровления - время, в течение которого
организм без внешнего вмешательства возвращается к
норме
1.7. Динамическое и статическое описание сложных
движений Во введении мы отметили сколь драматичным
было соперничество двух теорий статистического и динамического
описания неравновесных процессов. Хотя в настоящее
время накал страстей не столь велик, эти два направления
и по сей день развиваются в значительной мере независимо.
Необходимость их синтеза особенно остро ощущается
в последние годы в связи, в первую очередь, с развитием
физики открытых систем. В чем же причина столь долгого
противостояния этих двух фундаментальных научных направлений?
Является ли такое независимое развитие оправданным?
Ответ на этот вопрос очевиден. Их синтез необходим.
Первый же вопрос не является столь простым. Ниже мы
попытаемся дать на него ответ. Выделим два класса
систем: динамические и стохастические (или статистические).
Такое разделение является условным, так как во многих
случаях трудно провести различие между динамическим
и физическим хаосом. Его, однако, можно провести на
основе численного эксперимента. Это оправдано, поскольку
практически все представляющие интерес математические
модели не имеют аналитических решений. В основу классификации
положим свойство воспроизводимости движения по заданным
начальным условиям. Тогда по определению к динамическим
относятся воспроизводимые, а к стохастическим - невоспроизводимые
по начальным данным движения в нелинейных диссипативных
системах. Естественно, что в реальном эксперименте,
когда наличие шума неизбежно, все процессы в той или
иной мере являются стохастическими. При численном
же эксперименте возможно точное (при заданной разрядности
компьютера) повторение начальных условий. Воспроизводимость
решения зависит лишь от структуры математической модели.
Если уравнение не содержит случайных источников, то
процесс воспроизводим и, следовательно, движение
является динамическим, хотя оно и может быть при этом
очень сложным, и практически, непредсказуемым. В противном
случае (при наличии тех или иных источников), когда
движение невоспроизводимо по начальным данным, мы
имеем дело, следовательно, со стохастическим движением.
При исследовании стохастических процессов путем численного
эксперимента существенно, что источники случайных
чисел в компьютерах построены по определенному алгоритму
и являются поэтому фактически детерминированными.
Они могут рассматриваться как случайные, если характерные
времена повторения для них значительно больше характерных
времен релаксации динамической системы. Основной особенностью
динамического хаоса служит динамическая неустойчивость
движения. Она выражается в сильной (экспоненциальной)
расходимости близких в начальный момент траекторий.
Следствием ее является перемешивание траекторий, наличие
которого и позволяет перейти от полного описания на
основе уравнений движения всех частиц к более простым
уравнений для функций, сглаженных по обьему перемешивания.
Тем самым радикально меняется способ описания. Система
частиц заменяется сплошной средой. Именно так, не
делая на этом акцента, поступил Больцман, когда ввел
свое знаменитое кинетическое уравнение для плотности
распределения частиц в пространстве шести измерений
- в пространстве координат и компонент скорости.
Таким образом, функция распределения, для которой
Больцман записал свое уравнение, является макроскопической
характеристикой. В результате такого радикального
изменения меняется и временная симметрия уравнений.
Именно система обратимых уравнений механики для системы
частиц заменяется необратимым уравнением для макроскопической
плотности сплошной среды - кинетическим уравнением
Больцмана. Как следствие этого возникают новые характеристики,
которых нет в механике частиц. Важнейшей из них является
энтропия. После классических работ А. Пуанкаре можно
выделить два этапа развития динамической теории в
диссипативных системах. Первый связан с возникновением
радиотехники, с необходимостью развития для этих целей
теории автоколебаний. Замечательные физические и математические
результаты принадлежат Ван дер Полю, Л.И. Мандельштаму,
А.А. Андронову, А.А. Витту, Л.С. Понтрягину, Н.С.
Крылову, Н.Н. Боголюбову и многим другим. Особое место
в установлении связи динамического и статистического
описания сложных движений принадлежит очень рано ушедшему
из жизни Николаю Сергеевичу Крылову. Второй этап развития
динамической теории стимулировался проблемами теории
турбулентности и трудностями решения задачи о долгосрочном
прогнозе погоды. Фактически его началом явилась работа
Эдварда Лоренца. Значение этой работы было понято,
однако, значительно поздней, после появления статьи
математиков Д. Рюэля и Ф.Такенса, опубликованной в
1971г. В ней был введен новый математический образ
сложного движения в нелинейных диссипативных динамических
системах - странный аттрактор. Слово - странный -
подчеркивает два свойства аттрактора. Это, во первых,
необычность его геометрической структуры. Она не может
быть представлена в виде кривых или плоскостей, т.е.
геометрических элементов целой размерности. Размерность
странного аттрактора является дробной, или, как принято
говорить, фрактальной. Во-вторых, странный аттрактор
это притягивающая область для траекторий из окрестных
областей. При этом все траектории внутри странного
аттрактора динамически неустойчивы. Странный аттрактор
существует только в нелинейных диссипативных системах
с числом переменных больше двух. Так уравнения Лоренца
представляют систему трех нелинейных диссипативных
уравнений. Напомним, что автоколебания, например,
в генераторе Ван дер Поля описываются системой двух
уравнений. В этом случае имеются лишь простые аттракторы
- состояния покоя (точка) и предельный цикл (замкнутая
кривая). Для возможности существования странного аттрактора
необходимо усложнение генератора Ван Дер Поля. Оно
может быть осуществлено различными способами. Один
из них принадлежит В.С. Анищенко и В.В. Астахову.
Они ввели дополнительную обратную связь с использованием
полупериодного детектора. Такой генератор описывается
системой трех дифференциальных уравнений, которые
содержат два управляющих параметра: параметр обратной
связи и характерный временный параметр, определяющий
степень запаздывания. Результаты физического и численного
экспериментов показали следующее. При фиксированном
времени запаздывания по мере увеличения параметра
обратной связи в генераторе возникает последовательность
бифуркаций удвоения периода колебаний - бифуркаций
Фейгенбаума. Так происходит до некоторого критического
значения параметра обратной связи. При значениях больше
критического возникает странный аттрактор со сложным
чередованием областей динамического хаоса и порядка.
При этом в широкой области значений параметров наблюдалась
достаточная близость результатов физического и численного
анализа. Это соответствие нарушается, однако, вблизи
критических точек - точек бифуркации, где динамическая
математическая модель генератора оказывается недостаточной.
Подведем некоторые итоги. Мы видели, что в сравнительно
простых динамических системах существуют чрезвычайно
сложные движения, которые воспринимаются как хаотические.
Это и дало основание для введения новых понятий: странный
аттрактор и динамический (или детерминированный) хаос.
Слово - хаос - является, как правило, негативным как
в физике и биологии, так, например, и в экономике.
Это понятие, однако, как отмечалось выше, очень многогранно.
Так жизнь невозможна как при полном хаосе, так и при
полном порядке. Для нормального организма нужна некоторая
норма степени хаотичности. Для ее определения и поддержания
необходимы количественные оценки относительной степени
хаотичности. Покажем, что динамическая неустойчивость
может играть в физике открытых систем и конструктивную
роль. Начнем с иллюстративного примера из социологии.
Представим себе, что происходит лекция по курсу -
Физика открытых систем - для слушателей, которые сьехались
из различных областей России. Предположим, что лекция
подошла к концу, исчерпаны все вопросы. Примем это
состояние слушателей за начальное.
Рассмотрим два возможных варианта из дальнейшего движения:
1. Слушатели после окончания лекции перемещаются вместе,
не удаляясь друг от друга на значительные расстояния;
2. Слушатели разьезжаются по местам работы и жительства
- разбегаются экспоненциально. Иными словами движение
слушателей становится динамически неустойчивым.
Какой из этих двух вариантов движения в большей мере
способствует использованию полученных во время
лекций знаний? Первый вариант полезен, в определенной
мере, так как позволяет продолжить обсуждение затронутых
в лекции вопросов. Несомненно, вместе с тем, что лишь
второй вариант движения, когда - экспоненциальное
расхождение траекторий -, т.е. - динамическая неустойчивость
- и - перемешивание - траекторий слушателей по территории
России, позволяет широко распространить полученные
на лекциях знания и, тем самым, способствует научному
прогрессу. Этот пример демонстрирует, что динамическая
неустойчивость движения и перемешивание могут и не
вести к - хаосу -, а играть позитивную и конструктивную
роль. Вернемся после этого иллюстративного примера
к физической системе. Рассмотрим разряженный газ.
Это означает, что обьем атома или молекулы газа гораздо
меньше среднего обьема, который приходится на одну
частицу. Представим атомы в виде абсолютно упругих
шариков. Такая модель во многих случаях оказывается
вполне оправданной. С точки зрения механики для описания
эволюции газа надо использовать систему уравнений
для всех его атомов. Такая задача непосильна даже
для самых мощных компьютеров. В чем же выход? Как
же найти способ описания неравновесных процессов в
газе - в системе, состоящей из огромного числа частиц?
Покажем, что решение такой задачи возможно именно
благодаря конструктивной роли динамической неустойчивости
движения атомов газа. Действительно, благодаря динамической
неустойчивости движения - экспоненциальному разбеганию
траекторий, происходит перемешивание траекторий в
фазовом пространстве. Это открывает возможность ввести
понятие - сплошная среда - и использовать вместо микроскопических
уравнений движения частиц газа приближенные уравнения
для макроскопических функций. Атомарная структура
системы принимается во внимание при определении понятия
- точка сплошной среды -. Для этого необходимо конкретное
определение физически бесконечно малых масштабов времени
и длины и соответствующего физически бесконечно малого
обьема, который и играет роль обьема - точки - сплошной
среды. Естественно, что такое определение должно быть
согласовано с определением минимальной области перемешивания
и минимального времени развития динамической неустойчивости.
На этом мы завершим первое знакомство с основными
понятиями нового научного направления - Физика открытых
систем. В последующих лекциях мы познакомимся с некоторыми
конкретными проблемами и…
http://kirsoft.com.ru/freedom/KSNews_414.htm
Литература
1. Пригожин И. От существующего к возникающему. Наука.
Москва. 1985
2. Хакен.Г. Синергетика. М., Мир. 1980
3. Ю.Л. Климонтович Статистическая теория открытых
систем. Янус. Москва. 1995
4. Ю.Л. Климонтович. Критерии относительной степени
упорядочности открытых систем. УФН, 168 (1996) 1231
5. И.Г. Акчурин, В.И. Аршинов (ред). Самоорганизация
в науке. - Арго. Москва. 1994
http://www.pereplet.ru/cgi/soros/readdb.cgi?f=ST138
http://kirsoft.com.ru/freedom/KSNews_231.htm
|