Трагедия Свободы  Умопримечания | Стихи | Библиотека 
  на первую страницу НОВОСТИ | ССЫЛКИ   
Куда же спряталась самая свободная алгебра?
от 26.01.03
  
Умопримечания


Очерки об алгебрах

Из примечания N69 В.Г. Болтянского к книге Феликса Клейна (1849-1925) Элементарная математика с точки зрения высшей. Т.1. Пер. с нем. (Под ред. В.Г. Болтянского. - 4-е изд. - М., Наука. Гл.ред.физ-мат. лит. 1987) В современной  математике вместо  архаичного термина высшая  комплексная система (или гиперкомплексная система) принят другой термин: конечномерная  алгебра над полем действительных чисел. Если уравнения xa=b, ay=b разрешимы в рассматриваемой алгебре для любых a не равному 0 в b, то она называется алгеброй с делением.
Классическая теорема Г. Фробениуса (доказанная им в 1877г.) утверждает, что существуют только две конечномерные алгебры над полем действительных чисел, в которых умножение коммутативно, ассоциативно и нет делителей нуля, - это само поле действительных чисел и поле комплексных чисел.
Далее вторая часть теоремы Фробениуса утверждает, что если отказаться от коммутативности, но все же предполагать умножение ассоциативным, то существует еще одна единственная конечномерная алгебра над полем действительных чисел - это кватернионы, к описанию которых переходит Клейн.
Наконец, отказ от ассоциативности дает еще одну алгебру с восьмью единицами (одна действительная и семь мнимых), которая была открыта английским математиком Кэли.
Алгебра Кэли является альтернативной, т.е. подалгебра, порожденная любыми двумя ее элементами, является ассоциативной.
В настоящее время известно, что, кроме указанных четырех алгебр, других альтернативных  алгебр над полем действительных чисел не существует. Замечательно, что все они являются алгебрами с делением, т.е. отсутствие делителей нуля приводит (в предположении альтернативности) к однозначной выполнимости деления.
Отрывки из Заключения к книге Гиперкомплексные числа (Исай Львович Кантор. Александр Самуилович Солодовников. Из-во - М., Наука. Гл.ред.физ-мат. лит. 1973) Большая часть того, о чем говорилось в этой книжке, относится к первоначальному этапу в развитии теории алгебр. Мы хотим теперь рассказать, хотя и очень бегло, о некоторых дальнейших результатах этой теории.
Развитие теории алгебр начинается с работы В.Гамильтона о кватернионах, напечатанной в 1843 г. Позднее ее содержание вместе с рядом других результатов было им подробно изложено в Лекциях о кватернионах. Влияние  идей Гамильтона было весьма значительным: они подготовили почву для целой серии работ об ассоциативных алгебрах, завершившейся доказательством ряда глубоких теорем о строении таких алгебр.
…В конце XIX века исследования, касавшиеся теории алгебр, были сосредоточены в основном на изучении ассоциативных алгебр (как мы уже отмечали, сам термин алгебра фактически понимался как ассоциативная алгебра). В результате возникло довольно ясное представление о строении ассоциативной  алгебры.
Первый существенный результат относится  к простым алгебрам и был получен в 1893г. Ф. Молином; независимо тот же результат получили Г. Фробениус и Э. Картан. Оказалось, что все  простые комплексные ассоциативные алгебры с точностью до изоморфизма - это  полные матричные алгебры произвольного порядка n  (т.е. алгебры всех квадратных матриц порядка n).
Более общую теорему, справедливую для алгебр над произвольным полем P, доказал в 1907 г. американский математик Д. Ведерберн: все простые ассоциативные алгебры над полем Р - это в точности все полные матричные алгебры с элементами из ассоциативной алгебры  с делением над Р.
Например, согласно этой теореме все простые ассоциативные алгебры над полем D действительных чисел состоят из трех серий:
1) алгебра матриц с элементами - действительными числами;
2) алгебра матриц с элементами - комплексными числами (подчеркнем, что эти алгебры следует рассматривать как алгебры над полем D), частным случаем (при n=1) является сама алгебра комплексных чисел - размерность  ее равна 2; подобно этому алгебра всех комплексных  матриц порядка n имеет размерность 2n2;
3) алгебра матриц с элементами - кватернионами (для матриц порядка n размерность такой алгебры  равна 4n2;
…Таким образом, все простые ассоциативные алгебры были найдены. Одновременно с этим было выяснено (теми же авторами), что структура простых  ассоциативных алгебр во многом определяет строение произвольных ассоциативных алгебр.
…Теорема Ведерберна. В произвольной ассоциативной алгебре А существует полупростая подалгебра U,  дополнительная к максимальному нильпотентному идеалу V.
…Результаты, полученные в теории ассоциативных алгебр, послужили моделью для дальнейших исследований.
Многие последующие работы состояли в доказательстве того, что утверждение  теоремы Ведерберна справедливо для других классов алгебр (хотя для всех алгебр, как мы только что видели, оно не может быть верным) и  в перечислении простых алгебр этих классов.
Было доказано (М.Цорн), что теорема Ведерберна обобщается на альтернативные алгебры, т.е. на более широкий класс алгебр, чем ассоциативные. Заметим, что при исследовании простых альтернативных  алгебр выяснился  любопытный  факт.
Хотя, на первый взгляд, класс таких алгебр должен быть много шире класса простых  ассоциативных алгебр, на самом деле  первый класс из второго получается - в случае поля комплексных чисел - добавлением только  одной алгебры "комплексных" октав; в случае поля действительных чисел добавляется несколько алгебр такого же типа, как октавы.
Укажем еще два класса  алгебр, для которых справедлива теорема Ведерберна. Для этой цели возьмем любую ассоциативную алгебру А и на ее базе построим две новых алгебры А+  и А-, состоящие из тех же элементов, со следующими законами умножения;
в     А+    a * b =  ab + ba
в     А-    a * b =  ab  - ba
В алгебре A+ умножение коммутативно и, как нетрудно проверить, выполняется тождество
(b2*a)*b =  b2*(a*b)                                                      (3)
В алгебре A- умножение антикоммутативно (т.е. a * b = - b * a)  и выполняется тождество
a *(b*c) + b*(c*a) + c *(a*b) +    =  0                                (4)
Любая коммутативная алгебра, для которой справедливо (3), называется йордановой алгеброй (по имени немецкого физика П. Йордана):  любая антикоммутативная алгебра, для которой справедливо (4), называется алгеброй Ли.
Норвежский математик Софус Ли в конце XIX века впервые рассмотрел алгебры, названные потом его именем, в связи с теорией непрерывных групп преобразований. В современной математике алгебры Ли играют важнейшую роль и находят приложение  почти в каждом ее разделе.
Классификация простых йордановых алгебр была получена американским  математиком А. Албертом; им же была доказана справедливость теоремы Ведерберна для йордановых алгебр.
Основные теоремы о структуре алгебр Ли были получены одним из крупнейших математиков XX века  Э. Картаном. Им была найдена в частности, классификация  простых алгебр Ли.
Распространение  теоремы Ведерберна на алгебры Ли получил Э. Леви; при этом понятие нильпотентного идеала  оказалось нужным заменить на более широкое понятие разрешимого идеала.
Рамки данной книжки не позволяют нам останавливаться подробнее на этих вопросах
Вопроcы о строении простых алгебр в том или ином многообразии являются одними из главных вопросов теории колец. Мы уже знаем один пример простой неассоциативной альтернативной алгебры - это алгебра Кэли-Диксона. Оказывается, что других простых неассоциативных альтернативных алгебр не существует. Этот результат доказывался с нарастанием общности на протяжении нескольких десятков лет разными авторами: вначале для конечномерных алгебр (Цорн, Шафер), затем для алгебр с нетривиальным идемпотентом (Алберт), для альтернативных тел (Брак, Клейнфелд, Скорняков), для коммутативных альтернативных алгебр (Жевлаков) и т.д. Наибольшее продвижение было получено Клейнфелдом, доказавшим, что всякая простая альтернативная неассоциативная алгебра, не являющаяся ниль-алгеброй характеристики 3, есть алгебра Кэли-Диксона. Окончательное описание простых альтернативных алгебр осуществилось после появления теоремы Ширшова о локальной нильпонентности альтернативных ниль-алгебр с тождественными соотношениями
Е.А. Каратаев. Гиперкомплексные числа
http://karataev.nm.ru/hipclass/
Г.С. Мельников. Гиперкомплексные числа и фракталы пространства времени
http://gmelnikov.xaoc.ru/mono4.pdf
http://fractals.freedomgame.ru/data6/conf/hyp2.pdf
http://gmelnikov.xaoc.ru/fo_st9o.pdf
Отрывок из перевода статьи Яна Стюарта (Ian Stewart) The missing link... New Scientist, vol 176, issue 2368 - 09 November 2002, page 30.
http://www.scientific.ru/journal/western/mislink.html http://www.incunabula.org/blog/articles/stewart.html
Комплексные числа могут показаться странными, но они оказываются волшебным средством для понимания физики. Проблемы тепла, света, звука, колебании, упругости, гравитации, магнетизма, электричества и течения жидкости, все уступают этому комплексному оружию, но только для физики в двух измерениях. Наша Вселенная, однако, имеет три пространственных измерения, если не больше. Следовательно, раз двухмерная система комплексных чисел так эффективна для двухмерной физики, может ли существовать аналогичная трехмерная числовая система, которую можно использовать для физики реального мира? Нас ждет отрицательный ответ. Ирландский математик Виллиам Рован Гамильтон потратил годы на поиски трехмерной числовой системы, но все без результата. Наконец, 16 Октября 1843 его осенила догадка: не искать в трех измерениях, а искать в четырех. И она сработала. Гамильтон назвал свои новые числа кватернионами. Через два месяцев, услышав от Гамильтона про кватернионы, Джон Грейвс, Британский математик и старый друг Гамильтона еще со времен колледжа, объявил что он нашел восьмимерную числовую систему. Он назвал их октавами. Но до того как Грейвс опубликовал свои результаты, Британский адвокат-математик Артур Кэли сделал то-же самое открытие, и опубликовал его как приложение к ужасной в остальных отношениях работе об эллиптических функциях. Он назвал систему октонионами. Открытие октонионов с тех времен приписывается не тому человеку (они часто известны как числа Кэли, даже сегодня). Но на самом деле это не имело большого значения, так как все равно никто не обратил какого нибудь внимания на новые числа. Казалось, что октонионы не более чем причуда Викторианской математики. Грейвс, однако, не терял энтузиазма и был долго убежден, что его метод перехода от 4 к 8 можно и дальше использовать, получая алгебры размерности 16, 32, 64 и т.д., для любой степени двойки. Он назвал свою 16-мерную алгебру седенионами, но не нашел способа сделать ее, также как все остальные алгебры, работоспособной и начал сомневаться в их существовании. Его подозрения имели основания. Мы сейчас знаем, что эти четыре алгебры, размерности 1,2,4 и 8, единственные, которые отдаленно напоминают обычные действительные числа. Причина в том что, при увеличении размерности, эти системы удовлетворяют все меньшему и меньшему числу алгебраических законов - алгебраическая структура становится беднее. Если говорить несколько упрощенно, на седенионах Грейвса, алгебраическая структура уже в значительной степени пропадает
Системы чисел (Сильвестров В.В. , 1998) Рассказывается о способах и принципах построения систем чисел, обобщающих действительные числа. Приводятся примеры: комплексные, двойные и дуальные числа, кватернионы, октавы, числа Паули. Рассматривается матричная форма представления некоторых чисел.
http://www.pereplet.ru/obrazovanie/stsoros/618.html
J. W. Gibbs. On multiple algebra, Vice-presidential address to the section of mathematics and astronomy of the American association for the advancement of science. Proc. Amer. Assoc. Adv. Sci., 1886, v.35, p.37-66.
 W. R. Hamilton. On quaternions; or on a new system of imaginaries in algebra. Philos. Mag., 1844, v.25, p.10-13.
H. Grassmann. Die lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik. Leipzig: Otto Wigand, 1844
Анатолий Иванович Мальцев (Алгебраические системы. - Наука. М., 1970) Группу можно все же рассматривать как алгебру типа (2), т.е. с одной основной бинарной операцией, только не с операцией умножения, а с операцией деления
Свободные группы и Деревья Свободные группы и только они действуют свободно и без инверсий ребер на деревьях
http://sinsam.kirsoft.com.ru/KSNews_298.htm

  
СТАТИСТИКА

  Веб-дизайн © Kirsoft KSNews™, 2001 Copyright © Трагедия Свободы, 2001-2004